Définition
Définition
On dit que \(\ell\) est une valeur d'adhérence de la suite \((u_n)\) si et seulement s'il existe une sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) tq $$u_{\varphi(n)}\longrightarrow\ell$$
(
Suite extraite - Sous-suite,
Suite convergente)
Topologie
Définition d'une valeur d'adhérence :
- soit \((E,\tau)\) un espace topologique
- soit \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\) une suite de \(E\)
- \(x\in E\)
- \(\forall V\in\mathcal V(x),\forall n\in{\Bbb N},\exists p\gt n,\quad x_p\in V\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(x\) est une valeur d'adhérence de \((x_n)\)
Dans un espace métrique
Définition d'une valeur d'adhérence dans un espace métrique :
- \((x_n)_{n\geqslant0}\) est une suite de \(E\)
- toute boule \(B\) de centre \(a\) et de rayon strictement positif contient une infinité de points de la suite
- OU (équivalent avec le dernier point) $$\forall\varepsilon\gt 0,\forall N\geqslant0,\exists n\geqslant N,\qquad d(x_n,a)\lt \varepsilon$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(a\) est une valeur d'adhérence de \((x_n)_n\)
Propriétés
Ensemble des valeurs d'adhérence
L'ensemble des valeurs d'adhérences d'une suite \((x_n)_n\) de \(E\) est :
$$\bigcap_{n\in{\Bbb N}}\overline{\{x_k,k\gt n\} }$$
Caractérisation
Caractérisation d'une valeur d'adhérence :
- soit \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\) une suite de \(E\)
- il existe une sous-suite convergente qui converge vers \(x\in E\)
$$\Huge\iff$$
- \(x\) est une valeur d'adhérence
Réciproque de la caractérisation d'une valeur d'adhérence :
- soit \((E,\tau)\) un espace topologique base de voisinage dénombrables (en particulier espace métrique)
- soit \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\) une suite de \(E\)
- \(x\in E\) est une valeur d'adhérence de \(E\)
$$\Huge\iff$$
- il existe une sous-suite de \((x_n)\) convergente vers \(x\)
(
Base de voisinages dénombrable,
Espace métrique)
Lien avec les suites de Cauchy
Proposition :
Dans un espace métrique, une suite de Cauchy admet au plus une valeur d'adhérence
(
Suite de Cauchy)
Lien avec la compacité
Proposition :
Dans un espace compact, toute suite admet au moins une valeur d'adhérence
(
Compact - Compacité)