Valeur d'adhérence \(x\) de \((x_n)_{n\in\Bbb N}\)
Elément dont tout Voisinage contient une infinité de points de la suite \((x_n)\). $$\forall V\in \mathcal V(x),\forall n\in{\Bbb N},\exists p\geqslant n,\quad x_p\in V$$

• l'ensemble des valeurs d'adhérence de \((x_n)_{n\in\Bbb N}\) est donné par \(\bigcap^{+\infty}_{n=1}\overline{\{x_k\mid k\geqslant n\} }\)
• dans un Espace métrique
  compact, toute suite qui n'admet qu'une seule valeur d'adhérence converge
    
• conséquence : tout espace métrique Fermé est complet

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de suite de \({\Bbb R}\) qui n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, mais qui ne converge pas.
Verso: $$x_n=\begin{cases}0&\text{si}\quad n\text{ est pair}\\ n&\text{sinon.}&\end{cases}$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Dans quel cas a-t-on l'équivalence suivante ? $$x\text{ valeur d}^\prime\text{adhérence de }(x_n)\iff\exists \varphi:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\text{ strictement croissante tq }x_{\varphi(n)}\longrightarrow x$$
Verso: Dans une topologie à base de voisinages dénombrable seulement.
Bonus: Mais le sens \(\impliedby\) est toujours vrai.
END